函数与导数 · 分段分离参数

用分段分离参数法求参数取值范围

根据对数符号分段，把恒成立问题转化为参数上下界，再用导数分别求最值。

发布于 2026年8月23日更新于 2026年8月23日预计阅读 12 分钟

第四篇 · 函数与导数

题目

例题先独立思考，再阅读解析

设函数

f(x)=(x-a)^2\ln x\quad(a\in\mathbb R)

若对任意 $x\in(0,3e]$ ，恒有

f(x)\le4e^2

求实数 $a$ 的取值范围。

分段讨论

\ln x<0,\qquad (x-a)^2\ge0

(x-a)^2\ln x\le0<4e^2

所以这一段恒成立，对 $a$ 没有额外限制。端点 $x=1$ 时左侧等于 $0$ ，结论相同。

此时 $\ln x>0$ ，原不等式等价于

(x-a)^2\le\frac{4e^2}{\ln x}

|x-a|\le\frac{2e}{\sqrt{\ln x}}

-\frac{2e}{\sqrt{\ln x}}\le x-a\le\frac{2e}{\sqrt{\ln x}}

因此，对任意 $x\in(1,3e]$ ，必须同时满足

\begin{cases}a\le x+\dfrac{2e}{\sqrt{\ln x}},\\[4pt]a\ge x-\dfrac{2e}{\sqrt{\ln x}}.\end{cases}

上界

设

g(x)=x+\frac{2e}{\sqrt{\ln x}}\quad(x\in(1,3e])

g'(x)=1-\frac{e}{x(\ln x)^{3/2}}

令 $g'(x)=0$ ，得 $x=e$ 。在 $(1,e)$ 上， $g'(x)<0$ ；在 $(e,3e]$ 上， $g'(x)>0$ 。

g(x)_{\min}=g(e)=3e

所以参数上界为

a\le3e

下界

设

p(x)=x-\frac{2e}{\sqrt{\ln x}}\quad(x\in(1,3e])

p'(x)=1+\frac{e}{x(\ln x)^{3/2}}>0

所以 $p(x)$ 在 $(1,3e]$ 上单调递增，

p(x)_{\max}=p(3e)=3e-\frac{2e}{\sqrt{\ln(3e)}}

所以参数下界为

a\ge3e-\frac{2e}{\sqrt{\ln(3e)}}

结论

综合两个必要且充分的条件，实数 $a$ 的取值范围为

\boxed{a\in\left[3e-\frac{2e}{\sqrt{\ln(3e)}},3e\right]}

方法总结

按关键因子符号分段 → 在有效区间分离参数 → 把恒成立转化为上下界 → 分别求最值 → 取参数区间交集。

课程说明

由乐之翁整理并讲解。公式、排版和交互图形持续校订中。