解析几何 · 同构法

用同构法求解解析几何中的“一点两线”问题

通过依曲线设点、切线条件同构与韦达定理，求解抛物线与圆中的斜率范围和定点问题。

发布于 2026年8月23日更新于 2026年8月23日预计阅读 16 分钟

第三篇 · 解析几何

题目

例 1 先独立思考，再阅读解析

已知抛物线与圆

\Gamma:x^2=\frac43y,\qquad \odot E:x^2+(y-1)^2=r^2\quad\left(0<r\le\frac{2\sqrt2}{3}\right)

点 $P$ 在抛物线 $\Gamma$ 上。

求 $|PE|$ 的最小值；
设点 $P$ 的横坐标为 $2$ ，过 $P$ 作圆 $\odot E$ 的两条切线，分别交抛物线 $\Gamma$ 于 $B,\,C$ 两点：
① 求直线 $BC$ 的斜率取值范围；
② 证明直线 $BC$ 过定点。

解（1）

圆心为 $E(0,1)$ 。设

P(2t,3t^2)

\begin{aligned}|PE|&=\sqrt{(2t)^2+(3t^2-1)^2}\\&=\sqrt{9\left(t^2-\frac19\right)^2+\frac89}.\end{aligned}

当

t^2-\frac19=0\iff t=\pm\frac13

即 $P$ 为 $(\frac23,\frac13)$ 或 $(-\frac23,\frac13)$ 时，

\boxed{|PE|_{\min}=\frac{2\sqrt2}{3}}

解（2）①

点 $P$ 的横坐标为 $2$ ，所以 $P(2,3)$ 。设

B(2m,3m^2),\qquad C(2n,3n^2),\qquad m\ne n

y=\frac{3m^2-3}{2m-2}(x-2)+3

(3m+3)x-2y-6m=0

因为直线 $PB$ 与圆 $\odot E$ 相切，所以圆心到直线的距离等于 $r$ ：

\frac{|-2-6m|}{\sqrt{(3m+3)^2+4}}=r

(9r^2-36)m^2+(18r^2-24)m+13r^2-4=0

同理， $n$ 也满足

(9r^2-36)n^2+(18r^2-24)n+13r^2-4=0

因此， $m,\,n$ 是方程

(9r^2-36)\lambda^2+(18r^2-24)\lambda+13r^2-4=0

的两个不相等实根。

m+n=\frac{8-6r^2}{3r^2-12},\qquad mn=\frac{13r^2-4}{9r^2-36}

\begin{aligned}k_{BC}&=\frac{3m^2-3n^2}{2m-2n}\\&=\frac32(m+n)=\frac8{4-r^2}-3.\end{aligned}

当 $0<r\le\frac{2\sqrt2}{3}$ 时，函数 $\frac8{4-r^2}-3$ 单调递增，因此

\boxed{k_{BC}\in\left(-1,-\frac37\right]}

解（2）②

由前面的结论，直线 $BC$ 的方程为

y=\frac32(m+n)(x-2m)+3m^2=\frac32(m+n)x-3mn

代入 $m+n$ 与 $mn$ ，整理得

y=\frac{4-3r^2}{r^2-4}x-\frac{13r^2-4}{3r^2-12}

y=\frac8{4-r^2}(x+2)-3x-\frac{13}{3}

令 $x+2=0$ ，即 $x=-2$ ，则

y=-3(-2)-\frac{13}{3}=\frac53

所以直线 $BC$ 恒过定点

\boxed{\left(-2,\frac53\right)}

方法总结

依曲线设点 → 分别写出两条直线 → 转化为同一个参数方程 → 韦达定理 → 求范围或分离主元求定点。

课程说明

由乐之翁整理并讲解。公式、排版和交互图形持续校订中。