解析几何 · 椭圆

常用的椭圆二级结论

系统整理准线、焦半径、斜率积、焦点三角形、焦点弦与富吉瑞定理，并配合动态图理解。

高二高三解析几何进阶结论整理

主题椭圆焦点与弦定点问题

方法二级结论韦达定理

发布于 2026年8月23日更新于 2026年8月23日预计阅读 24 分钟

结论一至四

基础结论

一准线方程

椭圆 $E:\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0)$ 的准线方程为：

x=\pm\frac{a^2}{c}

椭圆上任意一点到焦点的距离与到同侧准线的距离之比等于离心率 $e$ 。

二通径

过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长为

\frac{2b^2}{a}

三焦半径

$F_1,\,F_2$ 是椭圆的左右焦点，椭圆上一点 $P(x_0,y_0)$ 到焦点的距离为：

PF_1=a+ex_0,\qquad PF_2=a-ex_0

过焦点 $F$ 的弦 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$ ，则

|AF|=\frac{b^2}{a-c\cos\theta},\qquad |BF|=\frac{b^2}{a+c\cos\theta}

四中点弦斜率

已知椭圆弦中点 $M(x_0,y_0)$ ，则弦的斜率为：

k=-\frac{x_0b^2}{y_0a^2}

或

k\cdot\frac{y_0}{x_0}=-\frac{b^2}{a^2}

这与弦和“弦中点与原点连线”的斜率积公式相吻合。

斜率公式 · 模型一至四

斜率积模型

1A、B 为椭圆的左右顶点

$P$ 为异于顶点的任意一点，则：

k_{PA}k_{PB}=e^2-1

模型 1：长轴两端点A、B 为椭圆左右顶点，P 为椭圆上异于 A、B 的一点，连接 PA、PB。

2A、B 为关于原点对称的两点

$P$ 为异于 $A,\,B$ 两点的任意一点，则：

k_{PA}k_{PB}=e^2-1

模型 2：关于原点对称的两点A、B 关于原点 O 对称，P 是椭圆上异于 A、B 的一点，连接 PA、PB。

3A、B 为椭圆上两个不重合的点

$M$ 是 $AB$ 的中点，则：

k_{OM}k_{AB}=e^2-1=-\frac{b^2}{a^2}

模型 3：任意弦及其中点A、B 为椭圆上两个不重合的点，M 为弦 AB 的中点，连接 OM。

4AB 为椭圆的一条切线

$P$ 为切点，则：

k_{OP}k_{AB}=e^2-1=-\frac{b^2}{a^2}

模型 4：椭圆切线直线 AB 与椭圆相切于 P，连接 OP。

结论五

焦点三角形

椭圆 $E:\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0)$ 的两个焦点分别为 $F_1,\,F_2$ ， $P$ 为椭圆 $E$ 上异于顶点的任意一点， $\triangle PF_1F_2$ 的周长为 $2(a+c)$ 。

焦点三角形P 为椭圆上一点，连接 PF₁、PF₂，标出三角形内的角 α、β、θ。

① 面积

S_{\triangle PF_1F_2}=b^2\tan\frac\theta2\quad(\theta=\angle F_1PF_2)

② 面积最大值为

bc

③ 焦半径乘积

PF_1\cdot PF_2=\frac{2b^2}{1+\cos\theta}

④ 焦半径

|PF_1|=a+ex_0,\qquad |PF_2|=a-ex_0

⑤ 离心率

e=\frac{\sin\theta}{\sin\alpha+\sin\beta}

⑥ 通径长为

\frac{2b^2}{a}

结论六

焦点三角形的内心

已知椭圆上一点 $P$ ， $F_1,\,F_2$ 分别为椭圆的左右焦点， $\triangle PF_1F_2$ 的内心为 $I$ ，则

\frac{IE}{IP}=e

其中 $e$ 为椭圆的离心率。 $I$ 点坐标为

I\left(ex_0,\frac{e}{e+1}y_0\right)

焦点三角形的内心I 为三角形 PF₁F₂ 的内心，E 位于焦点轴上，图中标出 IE 与 IP。

结论七、八

直线与椭圆联立公式

直线 y=kx+m

直线 $y=kx+m$ 与椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 联立得：

(b^2+a^2k^2)x^2+2a^2kmx+a^2(m^2-b^2)=0

\Delta=4a^2b^2(b^2+a^2k^2-m^2)>0\Longrightarrow b^2+a^2k^2>m^2

x_1+x_2=-\frac{2a^2km}{b^2+a^2k^2},\qquad x_1x_2=\frac{a^2(m^2-b^2)}{b^2+a^2k^2}

y_1+y_2=\frac{2b^2m}{b^2+a^2k^2},\qquad y_1y_2=\frac{b^2(m^2-a^2k^2)}{b^2+a^2k^2}

弦长

|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\frac{2ab\sqrt{(1+k^2)(b^2+a^2k^2-m^2)}}{b^2+a^2k^2}

直线 x=ty+m

直线 $x=ty+m$ 与椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 联立得：

(a^2+b^2t^2)y^2+2b^2tmy+b^2(m^2-a^2)=0

\Delta=4a^2b^2(a^2+b^2t^2-m^2)>0\Longrightarrow a^2+b^2t^2>m^2

y_1+y_2=-\frac{2b^2tm}{a^2+b^2t^2},\qquad y_1y_2=\frac{b^2(m^2-a^2)}{a^2+b^2t^2}

结论九至十一

焦点弦、准线与定点

9焦点分弦比例

弦 $AB$ 过椭圆焦点，焦点分弦的比例为 $\lambda\ (\lambda>1)$ ，则：

e|\cos\theta|=\frac{\lambda-1}{\lambda+1}

其中， $\theta$ 为弦所在直线的倾斜角。

10焦点弦与准线

椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$ 的右焦点为 $F(c,0)$ ，直线 $AB$ 过点 $F$ ，交椭圆于 $A,\,B$ 两点。直线 $MN$ 为准线，交 $x$ 轴于 $E$ ， $AN$ 与 $BM$ 相交于点 $Q$ ，则：

点 $Q$ 落在 $x$ 轴上；
点 $Q$ 为线段 $FE$ 的中点；
$\frac{AF}{AM}=e$ 。

结论 10：焦点弦与准线弦 AB 过右焦点 F，MN 为同侧准线，AN 与 BM 相交于 Q。

11富吉瑞定理

椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$ ， $P(x_0,y_0)$ 是椭圆上一个已知点，两条弦 $PA\perp PB$ ，则弦 $AB$ 必过一定点

M\left(\frac{a^2-b^2}{a^2}x_0,\frac{b^2-a^2}{b^2}y_0\right)

过椭圆上一个已知点的两条垂直弦端点的连线必过定点，且这个定点与两条弦的斜率无关，只与椭圆上已知点的坐标和椭圆参数有关。

课程说明

由乐之翁整理并讲解。公式、排版和交互图形持续校订中。