导数应用 · 隐零点

如何处理含参数的隐零点方程？

从分离参数、构造辅助函数到隐零点回代，完整拆解一道含参数不等式证明题。

高三函数与导数综合例题详解

主题导数应用含参不等式隐零点

方法分离参数构造辅助函数隐零点回代放缩

发布于 2026年8月23日更新于 2026年8月23日预计阅读 18 分钟

例题详解

题目

题目先独立思考，再阅读解析

已知函数

f(x)=(x+a-1)e^x-x\quad(a\in\mathbb R)

若 $a=1$ ，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；
若 $f(x)\ge0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
若 $0<a<1,\ x>0$ ，证明： $f(x-a)+x-a>\ln x+a-1$ 。

解（1）

求切线方程

当 $a=1$ 时，

f(x)=xe^x-x,\qquad f'(x)=(x+1)e^x-1

f(0)=0,\qquad f'(0)=0

所以，所求切线方程为

\boxed{y=0}

解（2）

求参数 a 的取值范围

分离参数

f(x)\ge0\iff a\ge\frac{x}{e^x}-x+1

设

g(x)=\frac{x}{e^x}-x+1

判断函数的单调性

g'(x)=\frac{1-x-e^x}{e^x}

设 $h(x)=1-x-e^x$ ，则

h'(x)=-1-e^x<0

函数 $h(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减，且 $h(0)=0$ 。

在区间 $(-\infty,0)$ 上， $g'(x)>0$ ，函数 $g(x)$ 单调递增；

在区间 $(0,+\infty)$ 上， $g'(x)<0$ ，函数 $g(x)$ 单调递减。

g(x)_{\max}=g(0)=1\Longrightarrow a\ge1

所以， $a$ 的取值范围为

\boxed{[1,+\infty)}

解（3）

证明不等式

构造函数 p(x)

待证不等式等价于

(x-1)e^{x-a}-\ln x-a+1>0

设

p(x)=(x-1)e^{x-a}-\ln x-a+1\quad(x>0)

p'(x)=\frac{x^2e^{x-a}-1}{x}

设

u(x)=x^2e^{x-a}-1\quad(x>0)

判断 u(x) 的单调性并确定隐零点

u'(x)=(x^2+2x)e^{x-a}>0

所以，在区间 $(0,+\infty)$ 上函数 $u(x)$ 单调递增。

因为

0<a<1\Longrightarrow-\frac12<\frac12-a<\frac12\Longrightarrow e^{\frac12-a}<\sqrt e<2

所以

u\!\left(\frac12\right)=\frac14e^{\frac12-a}-1<\frac12-1<0

又因为 $1-a>0$ ，所以

u(1)=e^{1-a}-1>0

则存在唯一的 $m\in(\frac12,1)$ ，使得 $u(m)=0$ ，即

m^2e^{m-a}=1\iff e^{m-a}=\frac1{m^2}

①

或

a=2\ln m+m

②

由隐零点确定 p(x) 的最小值

在区间 $(0,m)$ 上， $p'(x)=\frac{u(x)}x<0$ ，函数 $p(x)$ 单调递减；

在区间 $(m,+\infty)$ 上， $p'(x)=\frac{u(x)}x>0$ ，函数 $p(x)$ 单调递增。

因此，

p(x)_{\min}=p(m)=(m-1)e^{m-a}-\ln m-a+1

将①和②代入得：

p(m)=\frac{m-1}{m^2}-3\ln m-m+1

证明对数不等式

设 $\varphi(x)=\ln x-x+1$ ，则 $\varphi'(x)=\frac{1-x}{x}$ 。

在区间 $(0,1)$ 上， $\varphi'(x)>0$ ，函数 $\varphi(x)$ 单调递增；

在区间 $(1,+\infty)$ 上， $\varphi'(x)<0$ ，函数 $\varphi(x)$ 单调递减。

\varphi(x)\le\varphi(1)=0\iff\ln x\le x-1

放缩并完成证明

当 $m\in(\frac12,1)$ 时，

\begin{aligned}p(m)&=\frac{m-1}{m^2}-3\ln m-m+1\\&>\frac{m-1}{m^2}-4m+4\\&=(m-1)\left(\frac1{m^2}-4\right).\end{aligned}

此时， $m-1<0$ ， $\frac1{m^2}-4<0$ ，所以

(m-1)\left(\frac1{m^2}-4\right)>0

故

p(m)=\frac{m-1}{m^2}-3\ln m-m+1>0

即当 $0<a<1,\ x>0$ 时，

\boxed{f(x-a)+x-a>\ln x+a-1}

方法总结

解题路径

分离参数 → 构造辅助函数 → 确定隐零点 → 回代消参 → 放缩证明。

课程说明

由乐之翁整理并讲解。公式、排版和交互图形持续校订中。